Studiò al liceo classico, quindi iniziò gli studi di  Medicina, per abbandonarli dopo la seconda guerra mondiale a favore della Facoltà di Giurisprudenza (che completò diventando avvocato) e dell'Accademia di Belle arti di Brera, che frequentò parallelamente. Baj ha sempre avuto rapporti con poeti e letterati italiani e stranieri (André Breton, Marcel Duchamp, Raymond Queneau, Edoardo Sanguineti, Umberto Eco ed altri ancora) ed ha collaborato con le proprie illustrazioni alle edizioni di testi classici e moderni. Enrico Baj dedica una sua opera al "Ritratto di Carlo Ernesto Accetti" nel 1924. Nel 1951 tiene la prima personale alla Galleria San Fedele di Milano dove espone opere informali; nello stesso anno fonda insieme a Sergio Dangelo il Movimento della Pittura Nucleare. Nel 1953 insieme ad Asger Jorn fonda il Movimento internazionale per una Bauhaus immaginista, in polemica con la Scuola di Ulm di Max Bill; nel 1954 i due artisti danno vita agli Incontri internazionali della ceramica ad Albissola Marina presso le Ceramiche Mazzotti ai quali partecipano Lucio Fontana, Emilio Scanavino, Karel Appel, Guillaume Corneille, Roberto Matta, Aligi Sassu, Édouard Jaguer e altri[1][2]. Negli anni cinquanta collabora alle riviste d'avanguardia Il Gesto, Boa e Phases. Nel corso degli anni, la passione della scrittura aumenta portandolo alla pubblicazione di numerosi libri tra i quali Patafisica (1982), Automitobiografia(1983), Impariamo la pittura, Fantasia e realtà con Guttuso, Ecologia dell'arte[2][4]. Nel 1957 firma il manifesto Contro lo stile e tiene la prima personale all'estero, presso la Gallery One di Londra; nel 1959 aderisce al Manifeste de Naples. Nel 1962 partecipa a New York alla mostra The Art of Assemblage, occasione nella quale conosce Duchamp. Tra il 1963 e il 1966 trascorre molte tempo a Parigi dove entra a far parte del Collège de 'Pataphysique. Nel 1964 ottiene una sala personale alla Biennale di Venezia e nello stesso anno espone alla Triennale di Milano. Sempre attento agli aspetti sociali del proprio lavoro, consacra nel 1972 una grande tela ai "Funerali dell'anarchico Pinelli", dove riprende le proprie figure ispirate a Guernica ed i propri personaggi grotteschi e da parodia. Dopo 40 anni, l'opera è stata esposta a Palazzo Reale di Milano nell'estate 2012 [5]. Il manifesto ed il bando di gara ufficiali del torneo San Giorgio su Legnano scacchi riportano la scultura Gli scacchi dell'artista, da sempre logo della manifestazione. Baj aveva deciso, come gesto di amicizia nei confronti degli organizzatori del torneo, di permettere gratuitamente la riproduzione della sua opera per pubblicizzare la competizione. L'Archivio dell'artista è conservato presso l'Archivio del '900 del Mart di Rovereto.